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Gaz quantiques à deux dimensions

En dimension réduite (1D ou 2D), les propriétés des systèmes physiques sont considérablement modifiées. Les atomes froids permettent d’étudier cette classe de problème, car on peut grâce à des faisceaux laser appropriés, geler un ou deux degrés de liberté des atomes, pour réduire leur mouvement à une ligne ou un plan [1]. Depuis 2005, nous étudions au laboratoire les gaz de Bose à deux dimensions.


Composition de l’équipe

  • Membres permanents :
  • Visiteur :
    • Nathan Goldman, bourse de l’Université Libre de Bruxelles (ULB)
  • Postdocs :
    • Zoran Hadzibabic (2003-2007)
    • Peter Krüger (2005-2007)
    • Kenneth Günter (2007-2010)
    • Christof Weitenberg (2011-13)
    • Tom Bienaimé (2013- )
  • Etudiants en thèse :
    • Sabine Stock (2002-2006)
    • Baptiste Battelier (2004-2007)
    • Marc Cheneau (2005-2009)
    • Steffen-Patrick Rath (2006-2010)
    • Tarik Yefsah (2007- 2011)
    • Rémi Desbuquois (2009-2013)
    • Lauriane Chomaz (2010- )
    • Laura Corman (2012-)
  • Etudiants en stage :
    • Benno Rem (2009-2010)
    • Laura Corman (2010)
    • Julian Leonard (2011)
    • Katharina Kleinlein (2013-14)
    • David Perconte (2013-14)
    • Junyi Zhang (2014)
    • Andrea Invernizzi (2014)

Recherche financée par :

  • Le CNRS et le Ministère de l’Education nationale
  • L’ANR, programme "blanc" 2005-08, projet Gascor
  • L’ANR, programme "blanc" 2009-11, projet Bofl
  • L’ANR, programme "blanc" 2012-15, projet Agafon
  • L’Union Européenne, projet Scala (2007-09)
  • La région Ile de France, via le programme IFRAF
  • L’ERC, via le programme ERC Synergy UQUAM

Introduction : les gaz de Bose à deux dimensions

Le type d’ordre qui peut apparaître dans un système physique dépend crucialement de la dimensionalité de ce système [1]. Par exemple, un gaz de Bose uni- ou bi-dimensionnel uniforme ne doit pas présenter de transition de phase liée à la condensation, contrairement à ce qui se passe à trois dimensions. Ce résultat, dû à Hohenberg, Mermin et Wagner, est indépendant de la force des interactions dans le gaz.

Un gaz de Bose à deux dimensions peut en revanche présenter une transition de phase superfluide [7]. Le mécanisme microscopique, élucidé par Berezinskii, Kosterlitz et Thouless, est le suivant :

  • dans la phase à haute température, les vortex isolés prolifèrent. Ces vortex sont des points où la densité s’annule et où la phase de la fonction d’onde tourne de \pm 2\pi. Le signe \pm est appelé charge topologique du vortex. Cette prolifération de vortex isolés empêche l’établissement de courants permanents, et s’oppose donc à la superfluidité
  • dans la phase à basse température, les vortex n’existent que sous forme de paires liées, contenant deux vortex de charges opposées. Des courants permanents peuvent exister et le système possède une fraction superfluide non nulle.

Les gaz à deux dimensions possèdent une autre propriété remarquable, appelée invariance d’échelle. Cette invariance (approchée) se manifeste quand la force des interactions entre atomes est assez faible ; elle se traduit pas le fait que les différentes fonctions thermodynamiques (pression, entropie) ne sont pas des fonctions indépendantes des deux variables thermodynamiques traditionnelles que sont la température T et le potentiel chimique \mu, mais simplement du rapport entre ces deux variables \mu/T.

Dans nos études sur les gaz à deux dimensions, menées avec des atomes de rubidium piégés, nous avons cherché à mettre en évidence ces différentes propriétés des fluides quantiques à deux dimensions. Ces études ont notamment porté sur les points suivants :

On trouvera en fin de page quelques références sur ces résultats.

Notons pour terminer cette présentation que la présence d’un piège harmonique pour confiner les atomes vient encore enrichir le problème [7]. En effet, pour un gaz parfait, la condensation devient alors possible à la limite thermodynamique. Cette limite est prise de la manière suivante : le nombre de particules N\to \infty, la pulsation du piège \omega\to 0 et on garde le produit N\omega^2 constant. Pour un gaz en interaction confiné dans un piège harmonique, on s’attend donc à observer un phénomène intermédiaire entre la condensation qu’on observerait pour le gaz parfait, et la transition superfluide attendue dans le cas d’un système homogène.

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Mise en évidence des vortex et interférences de quasi-condensats

Pour une température inférieure à la température de la transition superfluide, on s’attend à ce que la fonction de corrélation g^{(1)}(\bs r)= \langle \psi^\dagger(\bs r)\psi(0)\rangle décroisse algébriquement avec la distance r. Pour une température supérieure à T_c, la décroissance de g^{(1)} est exponentielle. Pour accéder à la fonction g^{(1)}, une technique expérimentale performante est d’observer l’interférence entre deux systèmes planaires indépendants, préparés dans des conditions similaires. Le profil d’interférence est différent pour chaque réalisation de l’expérience, et l’analyse statistique de ce profil permet de remonter aux caractéristiques de la fonction g^{(1)}.

Nous avons mené une expérience où nous avons préparé des quasi-condensats planaires dans les sites d’un réseau optique uni-dimensionnel, formé par une onde stationnaire le long de l’axe z. Le pas de l’onde stationnaire est d’environ 3 micromètres, ce qui assure que le nombre de sites peuplés est entre 2 et 4. Les figures d’interférences obtenues révèlent l’apparition d’une décroissance algébrique [2,3]. Certaines contiennent également des dislocations, révélatrices de la présence de vortex isolés dans ces systèmes. La probabilité d’observer de telles dislocations augmente avec la température.

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La mesure du point critique

Quand on fixe la température du gaz à deux dimensions et on varie le nombre d’atomes, on trouve qu’il existe un nombre critique N_c tel que

  • Pour N<N_c, le profil de densité est quasi-gaussien (figure de gauche ci-dessous) et on n’observe aucune interférence avec un contraste significatif, quand deux gaz se recouvrent.
  • Pour N>N_c, le profil de densité est clairement bi-modal (figure de droite ci-dessous). La partie centrale est bien reproduite par une distribution de type Thomas-Fermi, et le piédestal est toujours quasi-gaussien. Des interférences avec un contraste marqué sont observées au niveau de la partie centrale de deux gaz préparés dans ces conditions.

Nous avons expérimentalement étudié la variation du nombre d’atomes critique N_c avec la température [4]. Nous avons également développé une approche fondée sur la théorie de champ moyen permettant de rendre compte de ces observations [5], le seuil de la transition de Berezinskii-Kosterlitz-Thouless étant injecté à la main dans cette approche. Un traitement plus élaboré, utilisant la méthode Monte-Carlo quantique, a été développé par M. Holzmann et W. Krauth (arXiv:0710.5060). Notre approche champ moyen redonne les grandes lignes de ce traitement Monte-Carlo quantique pour des nombres d’atomes inférieurs au nombre critique.

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La mesure de l’équation d’état du gaz de Bose à 2D

L’équation d’état d’un fluide à l’équilibre constitue sa "carte d’identité". Elle donne la valeur des fonctions thermodynamiques comme la pression P, la densité n ou l’entropie S en fonction de variables comme la température T ou le potentiel chimique \mu.

Pour un gaz à deux dimensions en interaction faible, cette équation d’état est invariante d’échelle. Pour comprendre cette propriété, on commence par remarquer que les interactions à 2D se décrivent par l’intermédiaire d’un nombre sans dimension \tilde g. Par exemple, l’énergie d’un atome plongé dans une région de densité surfacique n s’écrit E=(\hbar^2/m)\tilde g n (à 3D, n serait une densité volumique et \tilde g aurait la dimension d’une longueur). Si le gaz est en interaction faible, le nombre \tilde g est une constante. On peut ensuite écrire l’équation d’état pour des fonctions thermodynamiques sans dimension, comme la densité dans l’espace des phases n\lambda^2, où \lambda est la longueur d’onde de de Broglie. Comme les interactions à 2D n’introduisent pas d’échelle de longueur ou d’énergie, la densité dans l’espace des phases peut s’écrire sous la forme :


n\lambda^2= F(\frac{\mu}{kT},\tilde g).

En d’autres termes, un gaz de température T et de potentiel chimique \mu a nécessairement la même densité dans l’espace des phases qu’un gaz de température 2T et de potentiel chimique 2\mu.

Nous avons mesuré l’équation d’état en tirant parti du potentiel V(r) confinant les atomes. Nous avons pour cela utilisé pris des photos due gaz 2D, comme celle montrée ci-dessous (100 000 atomes à 130 nanoKelvin) :

En un point r du gaz, le potentiel chimique local est \mu-V(r) si bien que la mesure de la densité n(r) en tout point du piège donne accès à la fonction F recherchée :


n(r)\lambda^2 = F(\frac{\mu-V(r)}{kT},\tilde g).

En accumulant un grand nombre d’images obtenues pour différentes valeurs de la température et du nombre d’atomes, nous avons pu vérifier l’invariance d’échelle du gaz et mesurer l’équation d’état recherchée. Nos résultats sont en très bon accord avec les calculs Monte Carlo menés par différentes équipes (Prokofev-Svistunov, Holtzmann-Krauth, Rançon-Dupuis).

Les points de la figure ci-dessous montrent l’équation d’état pour n\lambda^2 mesurée expérimentalement et la ligne grise représente la prédiction théorique de Prokofev-Svistunov :

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La preuve directe de la superfluidité du gaz de Bose à 2D

Pour montrer qu’un gaz de Bose devient superfluide quand sa densité dans l’espace des phases dépasse une valeur critique, nous avons étudié ce qui se produit quand on bouge un obstacle microscopique dans ce gaz. L’obstacle est formé par un faisceau laser très focalisé : la taille du spot est de l’ordre de 2 micromètres. Nous bougeons ce spot à vitesse donnée le long d’un cercle centré sur le gaz, puis nous mesurons si la température du gaz s’est élevée.

Quand la densité dans l’espace des phases au niveau du spot est assez grande, nous trouvons un résultat caractéristique d’un comportement superfluide [10] : il n’y a pas d’échauffement si la vitesse du spot est plus basse qu’une vitesse critique. Au contraire si la densité dans l’espace des phases est basse, il y a un échauffement même pour des vitesses de spot très basses. Les vitesse critiques mesurées sont de l’ordre du millimètre par seconde, légèrement inférieures à la vitesse du son dans le gaz.

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Références

[1] I. Bloch, J. Dalibard, and W. Zwerger, Reviews in Modern Physics 80, 885 (2008) : Many-Body Physics with Ultracold Gases

[2] S. Stock, Z. Hadzibabic, B. Battelier, M. Cheneau, and J. Dalibard, Phys. Rev. Lett. 95, 190403 (2005) : Observation of Phase Defects in Quasi-Two-Dimensional Bose-Einstein Condensates

[3] Z. Hadzibabic, P. Krüger, M. Cheneau, B. Battelier, and J. Dalibard, Nature 441, 1118 (2006) and cond-mat/0605291 : Berezinskii-Kosterlitz-Thouless crossover in a trapped atomic gas

[4] P. Krüger, Z. Hadzibabic, J. Dalibard, Phys. Rev. Lett. 99, 040402 (2007) : Critical Point of an Interacting Two-Dimensional Atomic Bose Gas

[5] Z. Hadzibabic, P. Krüger, M. Cheneau, S. P. Rath, J. Dalibard, New J. Phys. 10, 045006 (2008) : The trapped two-dimensional Bose gas : from Bose-Einstein condensation to Berezinskii-Kosterlitz-Thouless physics

[6] Steffen P. Rath, Tarik Yefsah, Kenneth J. Günter, Marc Cheneau, Rémi Desbuquois, Markus Holzmann, Werner Krauth, Jean Dalibard, Phys. Rev. A 82, 013609 (2010) : The equilibrium state of a trapped two-dimensional Bose gas

[7] Z. Hadzibabic, J. Dalibard, Rivista del Nuovo Cimento 34, 389 (2011) : Two-dimensional Bose fluids : An atomic physics perspective

[8] Tarik Yefsah, Rémi Desbuquois, Lauriane Chomaz, Kenneth J. Günter, Jean Dalibard, Phys. Rev. Lett. 107, 130401 (2011) : Exploring the thermodynamics of a two-dimensional Bose gas

[9] L. Chomaz, L. Corman, T.Yefsah, R. Desbuquois, J. Dalibard, New J. Phys.14 (2012) 055001 : Absorption imaging of a quasi 2D gas : A multiple scattering analysis

[10] R. Desbuquois, L. Chomaz, T. Yefsah, J. Léonard, J. Beugnon, C. Weitenberg, J. Dalibard, Nature Physics 8, 645–648 (2012) : Superfluid behaviour of a two-dimensional Bose gas

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